¿Qué aplicaciones tiene el triángulo de Pascal?

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El Triángulo de Pascal es un arreglo triangular de números enteros con muchos usos en distintas áreas de la matemática, como probabilidad y álgebra. Cada renglón del triángulo tiene un elemento más que la línea de encima. Cada número es la suma de los dos números en la diagonal izquierda y derecha en la línea inmediata superior. Los elementos en el triángulo de Pascal son identificados basándose en su línea y columna cuando ambos empiezan en cero.

Coeficientes binomiales

Los números en el triángulo de Pascal ofrecen un atajo al expandir los binomios elevados a la n potencia. Los números en la línea n del Triángulo de Pascal enlistan los coeficientes de la expansión de (a + b)^n. Por ejemplo, la cuarta línea del triángulo de Pascal es "1 4 6 4 1"; la expansión del binomio (a + b)^4 es 1x^4 + 4x^3_y + 6x^2_y^2 + 4x*y^3 + 1y^4.

Combinaciones

El triángulo de Pascal también contiene un atajo para encontrar el valor de una combinación nCr, que es el número de subgrupos con r miembros de un grupo con n miembros. Las combinaciones son una operación básica en Combinatoria, la rama de la matemática que involucra contar grupos de elementos discretos. Por ejemplo, el número de manos posibles de cinco cartas de una baraja de 52 es 52C5. El quinto valor de la línea 52º da el valor de esta combinación: 259.860.

Probabilidad

El triángulo de Pascal es usado para calcular probabilidades con resultados binomiales, como la probabilidad de tener un niño o una niña. En una serie de n resultados binomiales, como tener n niños, el número de resultados en el que uno de los eventos de los binomios ocurra k veces, es igual a la entrada k-ésima entrada en la línea n del triángulo de Pascal. Por ejemplo, una familia que tiene cinco hijos tiene un total de 2^5 o 32 posibles combinaciones niño-niña. La quinta línea del triángulo de Pascal es "1 5 10 10 5 1". Estos valores indican el número de resultados con 0, 1, 2, 3, 4 y 5 niñas, en ese orden.

Series de números

El triángulo de Pascal también es notable por contener varias series de números importantes como patrones en su forma. Las series de números triangulares 1, 3, 6, 10, 15 y así corresponde a las sumas de los enteros consecutivos: 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 y así. Los números triangulares se encuentran en la tercera columna del triángulo de Pascal. Colorear todos los números impares en el Triángulo con un número infinito de líneas crea el triángulo de Sierpinski, un patrón fractal famoso.