Cómo calcular la distancia angular y lineal

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La distancia angular recorrida alrededor de un círculo es el número de radianes alrededor del círculo que el objeto recorre. Hay 2? radianes en una vuelta alrededor de un círculo, por lo que tres revoluciones es una distancia angular de 6? radianes. Si el movimiento es rectilíneo, es difícil determinar la distancia angular recorrida. Si el movimiento es curvilíneo, la distancia angular es más fácil de determinar.

Movimiento lineal

Dibuja un diagrama en el que la trayectoria de un objeto sea de (x, 0) a (x, y).

Calcula la distancia lineal recorrida por la ruta x.

Calcula la distancia angular como la diferencia entre el ángulo inicial y final. El ángulo inicial es cero. El ángulo final se encuentra con tan ? = y/x. Por lo tanto la distancia angular es igual a ? = arctan (y/x).

Movimiento de rotación

Dibuja un diagrama en el que la trayectoria es (r,?) = (x, x). Así que ?=?, la trayectoria está ? unidades lejos del origen. Es evidente que la distancia angular es ? radianes, ya que una media vuelta se ha realizado.

Determina la distancia lineal entre los dos puntos (0,0) y (?,?). Claramente, la distancia es ?, puesto que es lo mismo que encontrar la distancia en el plano xy entre (0,0) y (-?, 0).

Determina la longitud del arco barrido por la trayectoria de la siguiente manera. Primero debes notar que la trayectoria barre un ángulo diferencial d?, el radio cambia dr.

Ten en cuenta que cuanto más pequeño sea el dr, más cerca la trayectoria recorrerá la hipotenusa de un triángulo rectángulo de altura dr y base rd?. El teorema de Pitágoras, a continuación, da la longitud de la hipotenusa como ?[r^2 d?^2+ dr^2]. Retira d?^2 del radical para obtener d? ?[r^2 + (dr/d?)^2]. Como r y ? son iguales, entonces dr/d? = 1. Así que integrando el diferencial de longitud de la trayectoria con respecto a ? desde 0 a ? se convierte en una cuestión de integrar ? d? ?[?^2 +1].

La solución a esta ecuación se puede encontrar en las tablas de integrales. Es un poco largo. La longitud del arco resulta ser (?/2)?[(?/2)^2+1] + 0.5 ln (?+?(1+?)). Esto sale a unos 3,72, lo cual tiene sentido ya que la circunferencia de un círculo de radio ? es 2?^2. Corta esto por la mitad para obtener el semicírculo. Luego cuenta para la longitud del arco pequeño ?=0 a ?/2, y 3,72 parece una respuesta razonable.