Cómo calcular la distancia total recorrida

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Jupiterimages, Brand X Pictures/Brand X Pictures/Getty Images

Puedes encontrar la distancia total recorrida por un objeto en un espacio de dos o de múltiples dimensiones utilizando las integrales. Éstas son una herramienta matemática que sirve para calcular distancias, volúmenes y áreas de curvas y formas. Por ejemplo, si realizas un experimento científico en el cual la velocidad de un objeto está definida por una función matemática, puedes aplicar una integral a la misma para encontrar la distancia recorrida por dicho objeto.

Identifica la función de velocidad y el intervalo de tiempo sobre el cual quieres calcular la distancia recorrida por un objeto. Si no está disponible, tendrás que derivarla de un gráfico o deberás utilizar algún programa que determine la distancia recorrida. Para que entiendas cómo funciona, asume que la función de velocidad v(t) es 2t^2 - t - 6 y que el intervalo de tiempo es de t=0 a t=5.

Toma nota de si la función de velocidad cambia su dirección sobre el intervalo de tiempo. Si el objeto cambia su dirección una o más veces en el intervalo, entonces la distancia recorrida es la suma de las distancias en cada subintervalo. En otras palabras, si un objeto se mueve 5 metros a la izquierda y luego 10 metros a la derecha, la distancia total recorrida es de 5 metros (-5 metros + 10 metros) de su punto de origen. En el ejemplo, es claro que v(t) es menos que cero para t=0 y mayor a cero para t=5, por lo tanto cambia de dirección por lo menos una vez.

Determina cuándo el objeto cambia de dirección resolviendo la función. Utiliza la técnica de prueba y error para encontrar y aislar términos en común. Si esto no funciona, tendrás que usar algoritmos más complejos. Esto también se conoce como factorear, encontrar los ceros o las raíces de una función. En el ejemplo, reescribe v(t) como 2t^2 - 4t + 3t - 6. Reagrupa los términos para obtener 2t(t - 2) + 3(t - 2) y luego (2t + 3)(t - 2). Iguala cada polinomio a cero para poder resolver la ecuación. Ésto dará como resultado que los ceros de la función se encuentran en t=2 y t=-3/2. Como el intervalo de tiempo no puede ser negativo, hay sólo un cambio de dirección en t=2. Consecuentemente, el intervalo de tiempo t=0 a 5 tiene dos subintervalos: t=0 a 2 y t=2 a 5. La función es negativa para t entre 0 y 2, y positiva para t=2 en adelante.

Calcula la integral de la función de velocidad utilizando las reglas básicas de las integrales. En el ejemplo, la integral de 2t^2 - t - 6 es (2/3)t^3 - t^2/2 - 6t + k. El término constante "k" no es utilizado en el cálculo de la distancia.

Calcula la distancia recorrida sobre cada subintervalo. En el ejemplo, la distancia de t=0 a 2 es (2/3)(2^3 - 0) - (1/2)(2^2 - 0) - 6(2 - 0) o -26/3. La distancia de t=2 a 5 es (2/3)(5^3 - 2^3) - (1/2)(5^2 - 2^2) - 6(5 - 2) o 99/2. Recuerda que la función de velocidad es negativa de t=0 a 2 y positiva de t=2 a 5. Por lo tanto, la distancia total recorrida es -(-26/3) + 99/2 o 349/6.