Cómo calcular el enésimo término y la regla de la función

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Una secuencia es una lista ordenada de números que se define por una regla o una función. Cada número de la secuencia se conoce como término. La regla de la secuencia te indica qué hacer para calcular el siguiente término dentro de ella. Eso significa que dado un término de la secuencia puedes obtener el siguiente valor aplicando la regla al término dado. Sin embargo este proceso puede volverse tedioso rápidamente al intentar calcular términos más altos en la secuencia. Aprender a identificar una secuencia, su regla, y cómo usar la regla para determinar cualquier término de la secuencia puede ahorrarte mucho tiempo y esfuerzo.

Secuencia aritmética

Identifica los términos de la secuencia. El enésimo término es aquel que se encuentra en la posición n. De esta forma, el sexto término es el número que se encuentra en la sexta posición de la lista de números. Por ejemplo, en la secuencia 2, 13, 24, 35 el primer término es 2, el segundo es 13, el tercer término es 24 y el cuarto es 35.

Determina si la secuencia es aritmética. Si la diferencia entre dos términos consecutivos es constante significa que es aritmética. Para la secuencia del Paso 1, la diferencia entre el primer término y el segundo es 13 - 2, u 11. La diferencia entre el segundo y el tercer término y entre el tercero y el cuarto término también es 11. La secuencia es aritmética.

Esta diferencia entre términos consecutivos se conoce como la diferencia común de la secuencia.

Usa la fórmula del enésimo término de una secuencia aritmética para calcular el enésimo número y la función lineal que define a la secuencia. La fórmula para el enésimo término de una secuencia aritmética es: an = a1 + d(n–1), en donde "an" es el enésimo término de la secuencia, a1 es el primer término y d es la diferencia común.

Por ejemplo, calcula el 36º término de la secuencia en el Paso 1.

Evalúa la fórmula del enésimo término usando un valor identificado para calcular el 36º término de la secuencia. En el Paso 1 y el Paso 2 encontramos que a1 = 2 y d = 11, mientras que en el Paso 3 el valor de n = 36. Evaluando la fórmula con estos valores, a36 = 2 + 11 (36 – 1) = 2 + 11 (35) = 2 + 385 = 387.

Determina la función lineal que define a la secuencia evaluando la fórmula del enésimo término para los valores identificados de la secuencia. De los Pasos 1 y 2 obtuvimos que a1 = 2 y d = 11. La función que define la secuencia es: an = 2 + 11 (n – 1) = 2 + 11n – 11 = 11n – 9.

Describe el resultado en palabras. De los resultados del Paso 5, el 36º término de la secuencia aritmética es 387 y la función que genera la secuencia es an = 2 + 11 (n – 1).

Secuencia geométrica

Identifica los términos de la secuencia. Por ejemplo, en la secuencia 2, 6, 18, 54 el primer término es 2, el segundo es 6, el tercer término es 18 y el cuarto es 54.

Determina si la secuencia es geométrica. Si la relación de dos términos consecutivos es constante significa que es geométrica. Para la secuencia del Paso 1, la relación del primer y el segundo término es 6/2 o 3. La relación del segundo y el tercer término y la relación del tercero y el cuarto también es 3. La secuencia es geométrica.

Esta relación de términos consecutivos se conoce como la relación común de la secuencia.

Usa la fórmula del enésimo término de una secuencia geométrica para calcular el enésimo valor y la función que define a la secuencia. La fórmula para el enésimo término de una secuencia geométrica está dada por an = a1 (r^ (n – 1)) para valores de n ≥ 1. El enésimo término de la secuencia está representado por "an", a1 es el primer término y r es la relación común de la secuencia.

Evalúa la fórmula del enésimo término usando un valor identificado para calcular el 15º término. El en Paso 1 y el Paso 2 encontramos que a1 = 2 y r = 3, del Paso 3 sabemos que n = 15. Evaluando la fórmula con esos valores la ecuación es: a15 = 2 (3^(15 – 1)) = 9.565.938.

Determina la función que define a la secuencia evaluando la fórmula del enésimo término para los valores identificados de la secuencia. De los Pasos 1 y 2 encontramos que a1 = 2 y r = 3. La función que define a la secuencia es: an = 2 (3^( n – 1)) = (2/3)3^n.