Cómo saber cuando una ecuación no tiene solución o infinitas soluciones

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Hemera Technologies/AbleStock.com/Getty Images

Muchos estudiantes asumen que todas las ecuaciones tienen solución. Este artículo usará tres ejemplos que muestran que esta suposición es incorrecta.

Dada la ecuación 5x - 2 + 3x = 3(x+4)-1 para resolver, juntamos nuestros términos de la izquierda del signo igual y distribuimos el 3 en lado derecho del signo igual.

5x - 2 + 3x = 3(x+4)-1 es equivalente a 8x - 2 = 3x + 12 - 1; esto es: 8x - 2 = 3x + 11. Ahora juntamos los términos con x en un lado del signo igual (no importa si es el lado izquierdo o derecho).

Entonces 8x - 2 = 3x + 11 puede ser escrito como 8x - 3x = 11 + 2; esto es, quitamos 3x de ambos lados del signo igual y agregamos 2 a ambos lados del signo igual, y el resultado de la ecuación ahora es 5x = 13. Aislamos la x dividiendo ambos lados por 5 y nuestra respuesta será x = 13/5. Esta ecuación tiene una respuesta única que es x = 13/5.

Resolvamos la ecuación 5x - 2 + 3x = 3(x+4) + 5x - 14. Para resolverla, seguimos el mismo proceso como en el paso 1 a 3 y tenemos la ecuación equivalente 8x - 2 = 8x - 2. Aquí juntamos los términos con x en el lado izquierdo del signo igual y los términos constantes en el lado derecho; así queda la ecuación: 0x = 0, que es 0=0, lo que es un resultado verdadero.

Si miramos cuidadosamente la ecuación 8x - 2 = 8x - 2, veremos que, por cualquier x que sustituyas en ambos lados de la ecuación, el resultado será el mismo; así que la solución a esta ecuación es x es real. Cualquier número x servirá para esta ecuación. ¡Pruébalo!

Ahora resolvamos la ecuación 5x - 2 + 3x = 3(x+4) + 5x - 10 siguiendo el mismo procedimiento de los pasos de arriba. Obtendremos la ecuación 8x - 2 = 8x + 2. Juntamos los términos con x en el lado izquierdo del signo igual y los términos constantes en el lado derecho y veremos que 0x =4; esto es, 0 = 4, lo cual no es un resultado verdadero.

Si 0 = 4, entonces yo podría ir a cualquier banco, darles US$0 y obtener US$4. Imposible. Eso nunca ocurrirá. En este caso, no hay valor para x que sirva para la ecuación dada en el Paso 6. Entonces la solución a esta ecuación es: no tiene solución.