Cómo encontrar el ángulo entre las diagonales de un cubo

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Ablestock.com/AbleStock.com/Getty Images

Si tomas un cuadrado y dibujas dos líneas diagonales, se cruzarían en el centro y formarían cuatro triángulos rectángulos. Las dos diagonales se cruzan en 90 grados. Puedes adivinar intuitivamente que dos diagonales en un cubo, cada una desde una de las esquinas del cubo a la esquina opuesta y cruzándose en el centro, también se cruzan en un ángulo recto. Te equivocas. Determinar el ángulo en el que las dos diagonales de un cubo se cruzan es un poco más complicado de lo que parece a primera vista, pero hace una buena práctica para la comprensión de los principios de la geometría y de la trigonometría.

Define la longitud de un borde como la unidad. Por definición, cada borde en el cubo tiene longitud igual a uno.

Usa el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de una diagonal desde una esquina, a la esquina opuesta en la misma cara. Llama a esto una "diagonal corta" para mayor claridad. Cada lado del triángulo rectángulo formado es una unidad, por lo que la diagonal debe ser igual a √ 2.

Usa el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de la diagonal de una esquina a la esquina opuesta de la cara opuesta. Llama a esto una "diagonal larga". Hay un triángulo rectángulo con un lado igual a uno y una cara igual a la "diagonal corta", que mide √ 2 unidades. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los lados, por lo que la hipotenusa debe ser √ 3. Cada trayectoria desde una esquina del cubo hasta la esquina opuesta por la diagonal mide √ 3 unidades de largo.

Dibuja un rectángulo para representar dos diagonales largas que se cruzan en el centro del cubo. Quieres encontrar el ángulo de su intersección. Este rectángulo será de una unidad de altura y √ 2 unidades de ancho. Las diagonales largas se biseccionan entre sí en el centro de este rectángulo y forman dos tipos diferentes de triángulos. Uno de estos triángulos tiene un lado igual a una unidad y los otros dos lados iguales a √ 3/2 (la mitad de la longitud de una diagonal larga). El otro también tiene dos lados iguales a √ 3/2 pero su otro lado es igual a √ 2. Sólo tienes que analizar uno de los triángulos, así que toma el primero y resuélvelo para el ángulo desconocido.

Utiliza la fórmula trigonométrica c^2 = a^2 + b^2 - 2_a_b*cos(C) para resolver el ángulo desconocido de este triángulo. C = 1, y a y b son iguales a √ 3/2. Al sustituir estos valores en la ecuación, determinarás que el coseno del ángulo desconocido es de 1/3. Tomando el coseno inverso de 1/3 obtienes un ángulo de 70,5 grados.