¿Cuál es la importancia de factorizar polinomios?
Escrito por Andy Pasquesi ; última actualización: February 01, 2018
Indispensables en las matemáticas, la ingeniería, la economía y las ciencias físicas, los polinomios son expresiones algebraicas que sólo utilizan tres operadores básicos (por ejemplo, suma, resta, multiplicación) y, exponentes de números enteros positivos. Debido a estos parámetros limitados, un polinomio se puede escribir como el producto de sus raíces, es decir, la "factorización" del polinomio.
Historia
Antes del advenimiento de calculadoras gráficas y otros instrumentos electrónicos, la factorización era la forma más rápida y más confiable para encontrar las raíces de funciones polinómicas. Mientras que usar la ecuación cuadrática dio resultados que fueron más directos (con respecto a las raíces complejas), consumía típicamente más tiempo que la factorización y sólo funcionaba para los polinomios de segundo grado.
Computación
Para calcular el valor de la función "f (x) = x ^ 5 - 15x ^ 4 + 85x ^ 3 - 225x ^ 2 + 274x -120" cuando x = 5 en forma estándar, es necesario llevar a cabo un total de 24 operaciones por separado, por ejemplo, 5 * 5 * 5 * 5 * 5 para x ^ 5, 225 * 5 * 5 de 225x ^ 2, etc Sin embargo, si primero factorizas la función en "f (x) = (x-1) (x-2 ) (x-3) (x-4) (x-5), " sólo toma 10 operaciones separadas el calcular el valor de f (x) cuando x = 5.
Para los procesadores de ordenador, un menor número de operaciones significa una mayor velocidad de procesamiento y menor consumo de energía. Las funciones polinómicas (y la factorización de ellas) permiten a los desarrolladores de software implementar un complejo código sofisticado, sin inundar la CPU.
Resolver polinomios característicos de Matrices
La factorización polinómica es importante para un campo de las matemáticas conocida como "álgebra lineal", que se utiliza con frecuencia por los investigadores en las ciencias naturales y sociales. En álgebra lineal, las cantidades se expresan en forma de matrices, es decir, matrices ordenadas de números. Una matriz con un número igual de filas y columnas se conoce como una matriz "cuadrada". Cada matriz cuadrada tiene su propio y particular, "polinomio característico," que se basa en los valores dentro de ella y su respectivo posicionamiento.
Las raíces del polinomio característico son conocidas como los "valores propios" para la matriz y pueden ser usadas para construir el "vector propio" de la matriz. Una vez que el vector propio se ha establecido, la matriz puede someterse a cualquier número de transformaciones y todavía conservar ciertas características innatas. En este ejemplo, la factorización del polinomio característico sería la forma más rápida y fácil de obtener valores propios de la matriz.
Identificar raíces complejas
En algunos casos, puede ser más fácil encontrar las raíces de una función polinómica con sólo introducirla una calculadora gráfica y localizar los puntos en los que la ecuación cruza el eje x. Sin embargo, ciertos polinomios tienen lo que se llama "raíces complejas", que no se pueden determinar a partir de la gráfica de la función. Las raíces complejas se componen de un número real más un número que tiene el coeficiente de "i", que se define como la raíz cuadrada uno negativo. Por ejemplo, si graficas la función "h (x) = x ^ 2 + 6", verás que nunca toca el eje x. Esto se debe a que sus raíces son números complejos (también conocidas como "números imaginarios"). Sin embargo, la factorización del polinomio revela que "h (x) = (x-2i) (x 2 i)," mostrando que sus raíces son x = 2i y x =-2i.
En el mundo real, raíces complejas se utilizan comúnmente en la ingeniería eléctrica para calcular la "impedancia (Z)" dentro de los circuitos de corriente alterna (CA). En un circuito de corriente alterna, la tensión y la corriente del sistema varían independientes uno de otro con respecto a la frecuencia y desplazamiento de fase. Sin embargo, la impedancia del circuito es una cantidad vectorial de dos dimensiones sobre la base de la tensión y la corriente, que son cantidades escalares unidimensionales separadas. Para acomodar esto, los ingenieros utilizan un número complejo para denotar el circuito de tensión y corriente en un momento dado, de tal manera que la parte real del número representa la magnitud de la tensión, mientras que la parte imaginaria es la magnitud de la corriente.
Búsqueda de puntos críticos
En cálculo, una función derivada representa la tasa de cambio de la función original para el valor de cada variable. La derivada de una función polinómica es también un polinomio, lo que significa que puede utilizar la factorización para determinar las raíces de la función derivada. Las raíces de la primera derivada corresponden a las ubicaciones (lit. "puntos fijos") de los máximos y mínimos locales de la función original. Por ejemplo, si tenías función polinómica cuadrática que modela la trayectoria parabólica de una pelota lanzada por el aire, la raíz derivada de esa función podría representar el punto en el que la pelota alcanza el punto más alto de su trayectoria.
Mientras tanto, si se toma la derivada de la función derivada, el resultado (es decir, la segunda derivada) es también un polinomio y sujeto a factorización de la raíz. Las raíces de la segunda derivada corresponden a los "puntos de inflexión" de la función original, que tienen muchas aplicaciones importantes en la física y la ingeniería.
