¿Qué es producto escalar y producto matricial?
Escrito por Luc Braybury ; última actualización: February 01, 2018
Una matriz es una lista de números o expresiones ordenadas dentro de un arreglo rectangular. Las matrices tienen muchos usos en las ciencias incluyendo el estudio de circuitos eléctricos, mecánica cuántica, la proyección de imágenes 3D y el análisis numérico. El producto escalar y matricial son métodos de ampliación o creación de una nueva matriz a partir de otras.
Definición de producto escalar
El producto escalar es una operación básica con matrices en el álgebra lineal. Es la multiplicación de una matriz por un valor escalar utilizado para multiplicar la magnitud del espacio vectorial definido por la matriz. El término escalar se llama así debido al hecho de que no altera la dirección de un vector sino que únicamente cambia la escala o magnitud. El producto escalar sigue la regla de la multiplicación aritmética. Estas reglas incluyen las propiedades distributiva y asociativa; multiplicar una matriz por 1 no cambia la matriz; multiplicarla por 0 da por resultado la matriz nula, y multiplicarla por -1 da por resultado el negativo del espacio vectorial original.
Definición de producto matricial
El producto matricial es una operación donde dos matrices son multiplicadas entre sí para producir una nueva matriz. Este producto matricial se utiliza para representar transformaciones de espacios vectoriales. El producto matricial no sigue la propiedad conmutativa aunque es generalmente asociativo. El producto matricial puede utilizarse para hallar el producto de varias matrices. Sin embargo, la operación tiene condiciones estrictas y la mayoría de los productos matriciales están enfocados a un par de matrices.
Operación de producto escalar
El producto escalar de una matriz es una operación directa de multiplicación de un valor escalar por cada valor dentro de una matriz. Por ejemplo, para duplicar la magnitud de una matriz de 2 x 2, simplemente multiplica cada valor en la matriz por 2. Si la primer fila de valores de la matriz es [4,9] se transforma en [(4 * 2) (9 * 2)] = [8,18]. Similarmente, si la segunda fila de los valores de la matriz es [5,10], se transforman en [10,20].
Operación de producto matricial
El producto matricial solo puede ocurrir entre matrices cuando una matriz tiene el mismo número de filas que el número de columnas que tiene la otra matriz. Cada valor en la primer fila de la primera matriz es multiplicada por su correspondiente valor en la segunda matriz. Luego los productos se suman entre sí. Por ejemplo, multiplicando una matriz de 3 x 2 que contenga las filas [1,2,3] y [4,5,6] por una matriz de 2 x 3 que contenga las columnas [1,2,3] y [4,5,6] resulta: [(1 * 1) + (2 * 2) + (3 * 3) : (4 * 1) + (5 * 2) + (6 * 3) : (1 * 4) + (2 * 5) + (3 * 6) : (4 * 4) + (5 * 5) + (6 * 6)] = [(1 + 4 + 9) : (4 + 10 + 18) : (4 + 10 + 18) : (16 + 25 + 36] = [14,32,32,77]. Esto es igual a una matriz 2 x 2 con la primera fila [14,32] y la segunda fila [32,77].
