Cómo resolver ecuaciones cuadráticas con exponente fraccional negativo

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Las ecuaciones cuadráticas describen muchos fenómenos naturales comunes, tales como el vuelo de un proyectil, la forma de un plato parabólico o la clave para la búsqueda de puntos máximos y mínimos de procesos naturales simples. El modelo de una ecuación cuadrática es aX^2 + bX + c = 0, donde a, b y c son números. Puede parecer que las cuadráticas solo tratan con ecuaciones de segundo grado, pero eso sería incorrecto. Con un poco de imaginación, las cuadraticas pueden tener exponentes negativos o fraccionarios también.

Resuelve ecuaciones cuadráticas por medio de uno de los varios algoritmos. Factoreo es habitualmente la primera elección, debido a que frecuentemente es el camino más fácil. Si factorear no es fácil, existe un camino a prueba de fallas: la ecuación cuadrática, un poco más intensiva computacionalmente que el factoreo cuando éste es fácil, pero la ecuación cuadrática siempre produce una respuesta. El modelo estandar para una cuadrática es aX^2 + bX + c = 0, pero esto puede generalizarse a aX^2n + bX^n + c = 0 donde n puede ser cualquier cosa. Esto extiende la potencia de las herramientas para resolver cuadráticas de modo que incluyan muchos más trinomios.

Sustituye los exponentes negativos en el modelo aX^2n + bX^n + c = 0 con una sustitución para obtener una cuadrática, resuélvela y restituye la sustitución. Por ejemplo, el problema 9/X^3 = 8 + 1/X^6 no se ve como una cuadrática, pero una pequeña manipulación y una sustitución permite una solución cuadrática por factoreo. 9/X^3 = 8 + 1/X^6 es equivalente a 1/X^6 -9/X^3 +8 = 0 es equivalente a X^-6 - 9X^-3 + 8 = 0. Sustituyendo Y=X^-3 arroja Y^2 - 9Y + 8 = 0 que puede facilmente factorearse a (Y - 1)(Y - 8) = 0 así que Y=1 e Y=8 son ambas soluciones. Esto significa que X^-3 = 1 y X^-3 = 8 o 1/X^3 = 1 y 1/X^3 = 8 así que X = 1 y X = 1/2.

Utiliza la idea de sustitución para fracciones así como también para exponentes negativos. Por ejemplo, considera el enunciado del problema “X es igual a 8 veces la raíz cuadrada de X menos 16, ¿Cual es el valor de X?” Esta no parece ser una ecuación cuadrática pero una pequeña manipulación algebraica y una sustitución lo tornan también un problema cuadrático. X = 8X^1/2 - 16 así que x - 8X^1/2 + 16 = 0. Sustituyendo Y = X ^ ½ tenemos Y^2 - 8Y + 16 = 0 así que (Y - 4)^2 = 0. Esto significa que Y = 4 así que X^1/2 = 4 o X = 16.