Cómo hallar una ecuación exponencial dados dos puntos

Guardar

Jose Luis Pelaez Inc/Blend Images/Getty Images

Si se conocen dos puntos en una curva exponencial, se puede definir esta misma resolviendo la función exponencial general, utilizando los puntos. En la práctica, esto significa reemplazar los puntos por x e y en la ecuación y = ab^x. El procedimiento se simplifica si el valor de x es 0 para uno de los puntos, indicando que el punto se encuentra sobre el eje/y. Si ninguno de ellos tiene este valor de x, la resolución se torna algo más complicada.

Importancia de las funciones exponenciales

Son muchos los sistemas que siguen patrones exponenciales de crecimiento y decrecimiento. Por ejemplo, el número de bacterias en una colonia suele crecer exponencialmente, y la radiación ambiental en la atmósfera que sigue a un evento nuclear decrece de la misma forma. Al tomar la información y trazar una curva, los científicos pueden realizar predicciones con más facilidad y eficacia.

De un par de puntos a un gráfico

Cualquier punto en un gráfico bidimensional puede ser representado por dos números, que suelen escribirse de la forma (x, y), donde x define la distancia horizontal a partir del origen; y representa la distancia vertical. Por ejemplo, el punto (2, 3) está dos unidades a la derecha del eje-y y sobre el eje-x tres unidades. Por otro lado, el punto (-2, -3) está dos unidades a la izquierda del eje-y; 3 unidades por debajo del eje-x.

Si se tienen dos puntos, (x₁, y₁) y (x₂, y₂), puede definirse la función exponencial que pasa por estos puntos con tan sólo sustituirlos en la ecuación y = ab^x y despejando a y b. En general, se tienen que resolver este par de ecuaciones:

y₁ = ab^x1 y y₂ = ab^x2.

If you have two points, (x₁, y₁) and (x₂, y₂), you can define the exponential function that passes through these points by substituting them in the equation y = ab^x and solving for a and b. In general, you have to solve this pair of equations:

y₁ = ab^x1 and y₂ = ab^x2, .

De esta manera, los cálculos se ven un poco más complicados, pero esto cambia luego de hacer unos pocos ejemplos.

In this form, the math looks a little complicated, but it looks less so after you have done a few examples.

Un punto sobre el eje-Y

Si uno de los valores de x – supongamos el x₁ – es 0, la operación se torna muy sencilla. Por ejemplo, para resolver la ecuación para los puntos (0, 2) y (2, 4) se resuelven:

2 = ab⁰ y 4 = ab². Dado que sabemos que b⁰ = 1, la primer ecuación es 2 = a. Substituyendo en la segunda ecuación, queda 4 = 2b², que simplificamos a b² = 2, o b = raíz cuadrada de 2, que es igual a, aproximadamente, 1,41. La función resultante es y = 2 (1,41)^x.

Ningún punto sobre el eje-y

Si ninguno de los valores de x es 0, resolver el par de ecuaciones es algo más engorroso. Este video hace una demostración del proceso paso a paso. En el ejemplo, se eligieron los puntos (1, 5) y (2, 25). Tenemos las ecuaciones:

25 = ab²

5 = ab¹

Si se divide la primer ecuación por la segunda, queda:

5 = b

así, b = 5. Basta con sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener a. En este caso, elegimos la segunda:

5 = a5

esto nos da a = 1. Finalmente, la ecuación que pasa por ambos puntos es y = 5^x.

Un ejemplo del mundo real

Desde 1910, el crecimiento de la población humana ha sido exponencial y, graficando esta curva, los científicos pueden realizar mejores predicciones y planes para el futuro. En ese año, la población mundial era de 1,75 miles de millones; en 2010, 6,87 miles de millones. Tomando 1910 como el punto inicial, nos queda el par de puntos (0, 1,75) y (100, 6,87). Dado que el valor de x es 0 en el primer punto, a se calcula de manera sencilla.

1,75 = ab⁰ o a = 1,75. Usando este valor, junto a los del segundo punto, en la ecuación exponencial general, nos queda 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, lo que nos deja b = raíz centésima de 6,87 / 1,75 o 3,93. Así, obtenemos la ecuación y = 1,75 (raíz centésima de 3,93)^x. Si bien su resolución implica un trabajo arduo, los científicos utilizan esta ecuación para proyectar la población futura y ayudar a los políticos a diseñar políticas apropiadas.

Este artículo fue realizado con la ayuda de sciencing.com